愛因斯坦50洛倫茲變換介紹 　　洛倫茲變換是狹義相對論中兩個作相對勻速運動的慣性參考係（S和S′）之間的坐標變換，是觀測者在不同慣性參考係之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德裡克·安東·洛倫茲（1853年7月18日-1928年2月4日）而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。 　　1、研究歷史 　　19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。 　　由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當隻在某個特定的絕對靜止的慣性參考係中成立，這個參考係就是以太。其它參考係中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參考係相對以太參考係的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克爾遜－莫雷實驗測量不到地球相對於以太參考係的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克爾遜－莫雷實驗。根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，以太（即空間介質）長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上的光速差異，這樣就解釋了邁克爾遜－莫雷實驗的零結果。 　　1905年以前已經發現一些電磁現象與經典物理概念相抵觸，它們是： 　　①邁克爾遜－莫雷實驗沒有觀測到地球相對於以太的運動。 　　②運動物體的電磁感應現象表現出相對性——是磁體運動還是導體運動其效果一樣。 　　③電子的慣性質量隨電子運動速度的增加而變大。此外，電磁規律（麥克斯韋方程組）在伽利略變換下不是不變的，即是說電磁定律不滿足牛頓力學中的伽利略相對性原理。 　　修改和發展牛頓理論使之能夠圓滿解釋上述新現象成為19世紀末、20世紀初的當務之急。以洛倫茲為代表的許多物理學家在牛頓力學的框架內通過引入各種假設來對牛頓理論進行修補，最後引導出了許多新的與實驗結果相符合的方程式，如時間變慢和長度收縮假說、質速關係式和質能關係式，甚至得到了洛倫茲變換。所有這些公式中全都包含了真空光速。如果隻為解釋已有的新現象，上述這些公式已經足夠，但這些公式分別來自不同的假說或不同的模型，而不是共同出自同一個物理理論。而且，使用牛頓絕對時空觀來對洛倫茲變換以及所含的真空光速進行解釋時卻遇到了概念上的困難。這種不協調的狀況預示著舊的物理觀念即將向新的物理觀念的轉變。 　　在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅是數學上的輔助手段，並不包含相對論的時空觀。愛因斯坦洞察到解決這種不協調狀況的關鍵是同時性的定義，而牛頓時空理論（或伽利略變換）中的時間沒有辦法在現實世界中實現。為使用光信號對鐘，愛因斯坦假定了單向光速是個常數且與光源的運動無關（光速不變原理）。愛因斯坦以觀察到的事實為依據，把伽利略相對性原理直接推廣為狹義相對性原理，立足於這兩條基本原理，著眼於修正運動、時間、空間等基本概念，重新導出洛倫茲變換，並賦予洛倫茲變換嶄新的物理內容。 　　在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關係式，狹義相對論的運動學結論和時空性質，如同時性的相對性、長度收縮、時間延緩、速度變換公式、相對論多普勒效應等都可以從洛倫茲變換中直接得出。如果速度v比光速с小很多，而且被觀察的物體的運動速度也比光速小很多，則洛倫茲變換就與伽利略變換近似一樣。對於日常的力學現象，使用伽利略變換就可以了。然而，對於運動物體的電磁現象，雖然物體的運動速度比光速小很多，但由於電磁相互作用的傳播速度是光速，所以仍必須使用洛倫茲變換。 　　2、數學形式 　　洛倫茲提出洛倫茲變換是基於以太存在為前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參考係，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參考係之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的，即： 　　x′=（x-υt）/√（1-υ2/c2）， 　　y′=y， 　　z′=z， 　　t′=（t-x·υ/c2）/√（1-υ2/c2）。 　　其中x、y、z、t分別是慣性坐標係S下的坐標和時間，x′、y′、z′、t′分別是慣性坐標係S′下的坐標和時間。v是S′坐標係相對於S坐標係的運動速度，方向沿X軸。 　　由狹義相對性原理，隻需在上述洛倫茲變換中把v變成-v，x′、y′、z′、t′分別與x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式： 　　x=（x′+υt）/√（1-υ′2/c2）， 　　y=y′， 　　z=z′， 　　t=（t′+x′·υ/c2）/√（1-υ2/c2）。 　　洛倫茲變換是高速運動的宏觀物體在不同慣性參考係之間進行坐標和時間變換的基本規律。當相對速度v遠小於光速c時，洛倫茲變換退化為經典力學中的伽利略變換： 　　x′=x－vt 　　y′=y 　　z′=z 　　t′=t 　　所以，狹義相對論與經典力學並不矛盾，狹義相對論將經典力學擴展到了宏觀物體在一切運動速度下的普遍情況，經典力學隻是相對論在低速時（v遠小於c）的近似情況。一般在處理運動速度不太高的物體時（如天體力學中計算行星的運行軌道），不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與經典情況相差不大。當處理高速運動的物體時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。 　　3、初等數學推導洛倫茲變換 　　洛倫茲變換可以由狹義相對性原理和光速不變原理推導出來。下麵根據這兩個基本原理，推導坐標的變換式。 　　設想有兩個慣性坐標係S係、S′係，S′係的原點O′相對S係的原點O以速率v沿X軸正方向運動。任意一事件在S係、S′係中的時空坐標分別為（x，y，z，t）、（x′，y′，z′，t′）。t、t′分別是S係和S′係時刻。兩慣性坐標係重合時，分別開始計時。 　　若x=0，則x′+vt′=0。這是變換須滿足的一個必要條件，故猜測任意一事件的坐標從S′係到S係的變換為 　　x=γ（x′+vt′）(1) 　　式中引入了常數γ，命名為洛倫茲因子。 　　引入相對性原理，即不同慣性係的物理方程的形式應相同。故上述事件坐標從S係到S′係的變換為 　　x′=γ（x－vt）(2) 　　y與y′、z與z′的變換可以直接得出，即 　　y′=y (3) 　　z′=z (4) 　　把（2）代入（1），解t′得 　　t′=γt +(1－γ2)x/γv (5) 　　在上麵推導的基礎上，找書苑 www.ｚhａoｓhｕyuａn.com 引入光速不變原理，以尋求γ的取值。 　　由重合的原點O（O′）發出一束沿X軸正方向的光，設光束的波前坐標為（X，Y，Z，T)、(X′，Y′，Z′，T′)。根據光速不變原理，有 　　X=cT (6) 　　X′=cT′(7) 　　相對論的光速不變原理得出：坐標值X等於光速c乘時刻T，坐標值X′等於光速c乘時刻T′。（1）（2）相乘得 　　xx′=γ2(xx′－x′vt+xvt′－v2tt′)(8) 　　以波前這一事件作為對象，則（8）寫成 　　XX′=γ2(XX′－X′VT+XVT′－V2TT′)(9) 　　（6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子 　　γ=[1－（v/c）2]－1/2 (10) 　　（10）代入（5），化簡得 　　t′=γ(t－vx/c2)(11) 　　把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S係到S′係的洛倫茲變換 　　x′=γ(x－vt)， 　　y′=y， 　　z′=z， 　　t′=γ(t－vx/c2)(12) 　　根據相對性原理，由（12）得S′係到S係的洛倫茲變換 　　x=γ(x′+vt′)， 　　y=y′， 　　z=z′， 　　t=γ(t'+vx′/c2)(13) 　　洛倫茲變換結合動量定理和質量守恒定律，可以得出狹義相對論的所有結論。