愛因斯坦62重心運動的守恒原理及能量的慣性 在1905年奇跡年尚未被認證，愛因斯坦的理論尚未被主流接受，而他也依然名不見經傳的時刻，他雖然在信中向索洛文憂慮自己最富創造力的年齡即將過去，但他並未灰心喪氣而放棄自己的科研努力，而是繼續勇敢的朝著自己開創的物理學理論道路前行。 在搬到新家後20天，1906年5月17日，《物理學年鑒》收到了愛因斯坦1906年的第二篇論文，題為《重心運動的守恒原理及能量的慣性》，簡單說這篇論文是質能方程論文《物體的慣性同它所含的能量有關嗎？》的延續，討論的是質能方程，即能量和質量的統一，能量也具有自己的質量。 在論文《重心運動的守恒原理及能量的慣性》開始的研究背景部分，愛因斯坦以一段文字闡述重述了1905年9月27日的質能方程論文的基本結論： “我在去年發表的一篇論文（注：1905年9月27日的質能方程論文《物體的慣性同它所含的能量有關嗎？》）中指出，把麥克斯韋方程和相對性原理以及能量守恒原理相結合會導出如下結論，物體的質量隨著它的所含能量的改變而改變，而和能量改變為何種種類無關。對應於能量改變量△E必須伴隨著相同正負號的大小為△E/V2的質量改變，此處V表示光速。” 接著，愛因斯坦又以一段文字闡述簡述了自己這篇質能方程姊妹篇論文的研究目的，證明能量也有質量的論斷不僅符合力學過程，而且也符合電磁學，因此，能量和質量的緊密聯係是物理學各領域都需要考慮的重要因素： “在這篇論文中我要指出，上述定理(至少在第一階近似內)是不僅發生了力學過程，而且也發生了電磁學過程的係統的重心運動守恒定律（注：在一個係統中，質量m與重心χ的乘積守恒）成立的必要和充分條件。雖然為證明這個陳述所必須的簡單的形式考慮，已經主要包含在亨利·龐加萊（注：法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家，1854年4月29日—1912年7月17日）的工作中，但是為了清晰起見，我自己將不以這項工作為基礎。” 研究背景和目的介紹完後就進入了正文的闡述，正文分兩部分，第一部分題為《一種特殊情形》，為了自己的研究論題，在這一部分的開始愛因斯坦就設定了一個思想實驗，設在空間中有一個自由地浮動的、穩態的剛性的、內空的、橫放著的圓柱體K，在K的右底（注：對讀者來說是左側）側A中發出一個確定的輻射能量S，穿過空腔到達對麵的左底B（注：對讀者來說是右側），A和B之間的距離為α。具體如下圖所示： 輻射S作用在K的左內壁即B處，使K得到往左（注：依然是K的視角，對讀者來說是往右的）的速度，此速度大小為 S/（VM），其中V是光速，M是K的質量，S是輻射能量。 在輻射S被B吸收後，K歸於靜止，在此期間K運動的時間為α/V，則在此過程中K向左移動（注：依然是K的視角，對讀者來說是往右的）的距離δ為δ=（Sα）/（MV2）。 為了研究物體的重心運動，設定活動空間圓柱體和能量源內部的輻射S後，愛因斯坦又設定在圓柱體K內部放著一個物體 k，並描述了他在圓柱體K內部的運動過程： “讓我們在空腔K中放一個物體 k(為了簡單起見把它想象成零質量的)。物體靠近一個能推動它的機構(也是零質量的)。物體 k首先位於B，在B和A之間跑來跑去。在輻射量S被B吸收後，它的能量就轉移到 k上，然後 k向A運動。最後，能量S在A被空圓柱 k取走， k將又移回到B去。這整個係統現在完成了完整的循環，人們可以想象任意多次地重復這個過程（注：在此過程中，整個係統各部分的重心在不斷運動）。” 在上述過程中，輻射能S推動物體 k在AB之間來回運動，接著，愛因斯坦在論文中假設如果物體 k在吸收輻射能S後質量依然為0的做來回運動，則這個過程便違反了基本的力學定律，因此，是不可能的，所以，物體 k在吸收輻射能S後質量必然不為0： “如果人們假定輸運體 k甚至在吸收能量S後仍為零質量，那麼人們還得假定能量S的返回輸運不會伴隨著空圓柱體K的位置而改變。這樣，整個循環過程的惟一後果是整個係統往左位移了；重復循環過程，人們可以得到任意大的位移。我們因此得到結論，不用有外力作用到上麵，原先靜止的係統可以任意大地改變其重心位置，而且該係統不會經受到任何持久的改變（注：違反重心守恒定律）。 很清楚，得到的這個結果沒有任何內部矛盾。但是它違背了力學的基本定律，按照這些定律，一個原先處於靜止的物體，如果沒有受到其他物體的作用不可能進行平動。（注：牛頓第一定律）” 另一方麵，如果輸運體 k在吸收輻射能S後質量不為0，而是等於E/V2，則矛盾就消除了： “然而，如果人們假設任何能量E都具有慣性E/V2，那麼和力學原理的矛盾就可以避免。因為按照這個假設，輸運體從B到A輸運能量S具有質量S/V2。而根據質心定理，在整個過程中整個係統的重心必須靜止（注：論文第二部分的目的就是對此的解釋），空圓柱K在此期間總共向右邊位移δ′，其量為δ′=（Sα）/（MV2）。 和上麵求得的結果相比較可以得出(至少在第一階近似下)δ=δ′，也就是說，係統的位置在循環過程的前後是相同的。這就消除了和力學原理的矛盾。” 論文第一部分《一種特殊情形》就此結束。這一部分主要設定了一個簡單的思想實驗場景，引出了能量也具有慣性質量的話題。 下麵的第二部分則主要證明了發生電磁過程的係統，即第一部分發出輻射能量S的思想實驗係統也符合重心守恒定律，以為第一部分的最終論斷提供理論基礎。 第二部分題為《關於重心運動的守恒原理》，在這一部分愛因斯坦考察了n個分立的具有質量m1，m2，…，mn的質點，其重心坐標為χ1，χ2，…，χn，並做出了下列的幾條具體設定： “就熱和電的關係而言，這些質點不被當做基本結構(原子、分子)，而被當做在通常意義下的小尺度的物體，它們的能量不由重心的速度決定。 這些質點既能通過電磁過程也能通過守恒力(例如重力、剛性連接)來相互作用；然而我們將假定，不僅守恒力的勢能，而且重心運動的動能相對於這些質量m1，m2，…，mn的‘內’能都為無限小。” 針對上述設定的物理體係，愛因斯坦列出了在整個空間中成立的麥克斯韋-洛倫茲方程1： （1/V）·（uxρ+?X/?t）=?N/?y-?M/?z， （1/V）·（uyρ+?Y/?t）=?L/?z-?N/?x， （1/V）·（uzρ+?Z/?t）=?M/?x-?L/?y， （1/V）·?L/?t=?Y/?z-?Z/?y， （1/V）·?M/?t=?Z/?x-?X/?z， （1/V）·?N/?t=?X/?y-?Y/?x。 其中，ρ=?X/?x+?Y/?y+?Z/?z，表示電密度的4π倍。 （注：上述方程1《愛因斯坦全集》注釋[3]說“這個方程的第一項應為‘’，下麵的方程的第一項應為‘’”。 論文《關於重心運動的守恒原理》這一部分的討論類似狹義相對論第二大部分電動力學部分，對不熟悉麥克斯韋電動力學的讀者來說隻能大體看個論文思路的總體邏輯，具體的公式推導和公式含義就沒法解釋太詳細了。） 將方程1中的各個方程分別乘上 VXx/（4π），VYx/（4π）…，VNx/（4π）再加起來，並對整個空間積分，進行幾次部分積分，就得到方程2： =0， ∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）+d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt-V/（4π）·∫（YN-ZM）dτ=0 （注：上述方程2《愛因斯坦全集》注釋[4]說“積分的係數應為‘-V/4π’。根據後文內容可知是第三項‘-’最前麵的係數為‘-V/4π’。”） 方程2的第一項∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）代表電磁場提供給物體m1，m2，…，mn的能量E。 根據質量m依賴於能量E的假設，獲得了電磁能的單個質點 mn會改變其能量，從而也改變它們的質量，則方程2的第一項∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）與表達式3相等： V2·∑xn（dmn/dt）。 （注：∑xn（dmn/dt）是質能方程E=mc2中的質量m項，這裡筆者認為是物體m1，m2，…，mn的質量和重心的乘積，用的依然是重心守恒定律，方程2的第一項∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）也是包含著重心坐標χ的。） 賦予電磁場以質量密度(ρe)，它和能量密度差一個因子1/V2（注：根據質能方程），那麼方程2的第二項 d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt就變為表達式4： V2·[d（∫xρedτ）]/dt （注：[d（∫xρedτ）]/dt是質能方程E=mc2中的質量m項，這裡是電磁場的質量和重心的乘積，根據電磁學，電磁場也具有質量、動量以及能量，而方程2的第二項 d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt也是包含著重心坐標χ的。） 將表達式3和表達式4代入方程2，並設第三項積分為J，則方程2變為方程5： ∑xn（dmn/dt）+d（∫xρedτ）/dt-J/（4πV）=0 （注：方程5這裡第三項的係數就是由方程2第三項係數為“-V/4π”化簡得來的，方程2到方程5的變化，就是代入表達式3和表達式4後共同除以了共同因數V2得來的。） 為了找出方程2第三項積分J的意義，愛因斯坦在論文中用NV，-MV，-ZV，YV乘以方程1的第二、第三、第五和第六式，並把它相加再對空間積分，利用幾次部分積分後就得到了方程6： dJ/dt=-4πV·∫[ρ（X+υN/V-wM/V）dτ]/（4π）=-4πVRχ （注：上述方程6《愛因斯坦全集》注釋[6]說“最後一項應為‘-4πVRχ’。”） 在論文中愛因斯坦對方程6中的Rχ進行了文字說明：“這裡Rχ是電磁場作用到質量m1，m2，…，mn上的所有力在X分量的代數和。由於保守的相互作用引起的所有力的總和為零，Rχ同時是所有作用到質量 mv上的X分量的力的總和（注： mv是質量m1，m2，…，mn的總靜止質量，沒有考慮進相對論質能方程的質增效應）。” 接下來，針對方程6，愛因斯坦在論文中以兩種情況做了考察，首先情況一，假設質量與能量無關，則單個質點 mv的運動方程為方程7： mv·（d2xv/dt2）=d[mv·（dxv/dt）]/dt=Жv 其中，Жv所有作用到 mv上的力的X分量的合力。 （注：方程7即為牛頓第二定律的微分形式，如果 mv是不變量，則為方程7； 如果考慮質能方程，則為+ d[mv·（dxv/dt）]/dt=mv·（d2xv/dt2）+（dmv/dt）·（dxv/dt），這後一個關係和物理學教科書裡的相對論力學方程一個意思 F=υ·dm/dt+m·dυ/dt，速度v= dxv/dt。 而 mv·（d2xv/dt2）就是牛頓第二定律：力F=質量m×加速度a的微分形式，其等於Жv； d[mv·（dxv/dt）]/dt則是狹義相對論改寫的牛頓第二定律，除了F=ma，還包含了質量m隨能量E改變的量，即為相對論力學，其等於Rχ。因為Rχ為電磁場對質量m1，m2，…，mn上的所有力的設定自動暗含了根據麥克斯韋方程組導出的光速不變而推導出的狹義相對論及其質能方程效應。 如果不考慮質量m隨能量E改變的相對論質能方程，則方程7第一個等號成立。） 由方程7右邊兩項可得方程8： d∑[mv·（dxv/dt）]/dt=∑Жv=Rχ （注：Rχ=Жv在不考慮質能方程的前提下成立，如果考慮到狹義相對論提出的質量隨能量改變，Rχ=Жv則不嚴格成立，即，考慮質能方程的Rχ≥不考慮質能方程的Жv。） 將方程8代入方程6再積分可得方程9： J/（4πV）+∑[mv·（dxv/dt）]=常數 以上方程7到方程9的推導以質量與能量無關，如果在質量與能量有關的情況二下，則方程7的第一個等號不再成立，對此愛因斯坦在論文中進行了分析，認為其在忽略二階項的所需的精確度內——即物體速度遠低於光速而相對論質量隨速度增加效應不顯著時——成立。具體論述如下： 在情況二，即質量與能量有關的前提下，方程7第一個等號的物理量 mv·（d2xv/dt2）和 d[mv·（dxv/dt）]/dt以方程10來描述： d[mv·（dxv/dt）]/dt-mv·（d2xv/dt2）=（dmv/dt）·（dxv/dt）=（1/V2）·∫[ρ·（dxv/dt）（uX+υY+wZ）dτ]/（4π） 在論文中愛因斯坦對方程10，即 mv·（d2xv/dt2）和 d[mv·（dxv/dt）]/dt的關係在考慮質增效應的前提下，進行了文字說明：“（方程10）具有速度的二階項。因此，如果所有的速度都如此之小，以至於二階項可被忽略去，那麼即便質量 mv是變量，方程 d[mv·（dxv/dt）]/dt=Жv（注：即 d[mv·（dxv/dt）]/dt恒等於Rχ，質增效應不明顯時也等於Жv）肯定在所需的精確度內成立，那麼方程8和方程9也成立。” 上述論證在忽略二階項的所需的精確度內公式7和公式8也最終成立的目的就是為了得出公式9在考慮質能方程的前提下依然成立，以最終論證發生電磁過程的係統也符合重心守恒定律。 將方程9代入方程5可得方程11： d[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]/dt=常數 （注：∑（mv·xv）是質體的質量與其重心的乘積，∫xre·dτ是電磁場的能量質量與其重心的乘積。） 由方程11可得方程12，即物體質心的定義： ξ=[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]/（∑mv+∫re·dτ） 其中，ξ是有質體的質量以及電磁場的能量質量的重心的χ坐標。找書苑 wwｗ．zhａｏshuyuan.coｍ 接著，愛因斯坦對方程12進行了文字說明：“這裡，根據能量原理（按照本文提出的解釋，質量守恒原理是能量原理的特殊情形。），（方程12）右邊分母的值與時間無關（注：洛倫茲變換下的守恒量）。所以我們又可以把方程11寫成如下形式 dξ/dt=常數。 這樣，如果人們從慣性質量E/V2賦予任何能量，那麼至少在一階近似內，重心運動守恒原理也應該對於發生電磁過程的係統成立（注：論文第二部分論證的最終目的）。” 這第二部分的論述其實是解釋了第一部分的思想實驗必定要符合重心守恒定律，所以，第一部分發生電磁過程的係統——即發出輻射能量S——的思想實驗中的輸運體 k在吸收輻射能S後質量必定不為0，因此，最終得出論文的結論：物體的慣性依賴於它所含的能量。（注：繞了好大圈，剛開始筆者也沒看出來目的是這個。） 最後，愛因斯坦以一句話結束了論文《重心運動的守恒原理及能量的慣性》： “上述研究表明，要麼人們必須放棄力學的基本定律，按照這個定律，原先處於靜止的物體除非受到外力則不能平動（注：當然不能放棄力學的基本定律），要麼人們必須假設物體的慣性依據上述的定律依賴於它所含的能量（注：這個是要接受的，不然愛因斯坦拿一篇論文在這論證啥呢）。” 論文就此正式結束，這篇論文《物理學年鑒》1906年5月17日收到，最終於6月26日發表。