群的定義 　　*是定義在集合上的二元運算表示的是結合的意思，第二個就是交換性，這是兩個性質，第三個是單位元唯一，還有一個是封閉性，一共是四個特性 　　滿足結合率的叫半群，再滿足單位元唯一就叫做幺半群 　　單位元就可以理解成勢（阿列夫0）相同吧。 　　有的書會有一個叫可分，我覺得這個東西其實就是結合和封閉的綜合利用。 　　結合的酉群胚也可以叫做幺半群 　　群的話就是比幺半群多了個可逆， 　　群胚是群的同構都是一個，唯一的一個，酉群胚一維化的群然後再找的他的同構體，這個同構體是唯一的，而且基本上可以看作勢，這樣，單位元也就出來了， 　　這個時候的群，環，域，還沒有什麼復數，實數這類可以用的捷徑，能用的隻有計數統計個數，還有這些個物體的結構和排列。 　　環: 　　還有兩個操作，加法阿貝爾群.乘法幺半群. 　　阿貝爾群就是一個交換群，簡單的說就是無序運算，運算的時候不用考慮運算的順序，第二個滿足結合率並且單位元唯一 　　域: 　　域也有這兩個兩個操作， 　　域有兩個操作，加法阿貝爾群.乘法幺半群.是不是和環表示的一樣，隻不過域又多了一些限製， 　　就是單位元不等於0的交換環，而且還可逆，那這種就被叫做域， 　　可逆這個能推導出很多東西，就像0，這個就分出來四個東西，左0因子環，右0因子環，無0因子環，整環。這裡看看就行，沒必要深究，