愛因斯坦56關於布朗運動的理論第2部分 　　第2部分題為《應用第1部分中所推得方程的實例》，在這一部分，愛因斯坦將第一部分最後導出的方程4應用到了三個物理場景，簡略的討論了下方程4的應用。 　　方程4的第一個應用場景就是第1部分提到的物理體係狀態變數P1，P2，…，Pn之一的原子坐標問題，也就是布朗運動中粒子的移動距離問題。愛因斯坦設定一個物體的重心能夠沿著坐標係的X軸運動，而且這個物體被一種氣體包圍著（注：布朗運動的物理學假定模型，物體就是布朗運動中的花粉，這裡的氣體則是布朗運動中的液體），並且達到了熱平衡和機械平衡。 　　按照分子理論，由於分子碰撞力不均勻，這個物體會以一種不規則的方式沿著直線作向後和向前運動，從而直線上沒有一個點是特殊的，即幾率均等，而物體重心的橫坐標x就是上文探討的物理體係參數α的一種。 　　接著，自然而然的，愛因斯坦的討論就進入了第二個物理體係，在此處愛因斯坦設作用於第二個物理體係的勢Φ(α)的力為K=-M·χ： 　　“那麼，按照分子理論，這個物體的重心又會進行一種並不遠離χ=0這個點的不規則運動；可是按照經典熱力學，它卻必須靜止在點χ=0上。” 　　將方程4引入此處的設定物理場景，則在任意選定的時刻參數物體坐標χ處在χ和χ+dχ之間的幾率dW為方程5： 　　dW=A′e-（NM·x2/2）/（RT）dx 　　此處由於力為K=-M·χ，則方程4中的勢Φ(α)為M·χ2/2，不嚴格的考慮此處可以參照重力和重力勢能的關係。 　　由方程5可以求出物體重心（即布朗運動中的花粉）與點χ=0之間的平均距離為公式6： 　　√`x2=√[òx2A′e-（NM·x2/2）/（RT）dx]/√[òA′e-（NM·x2/2）/（RT）dx]=√[（RT）/（NM）]。 　　（注：公式6中間第二項少了開方號。） 　　根據公式6可以看出，為了使物體重心（即布朗運動中的花粉）與點χ=0之間的平均距離√`x2能夠大到被觀測到程度，力K=-M·χ中的參數M不能過大，愛因斯坦在論文中對此進行了一定的文字闡述： 　　“為了使√`x2大到足以能夠觀測到，確立這個物體的平衡位置的力（注：即力K=-M·χ，M在公式6的分母上，M越大，√`x2越小）必須非常小。如果我們設觀測的下限為√`x2=10-4cm；那麼，對於T=300，我們就得到M大約為5×10-6。為了使這個物體所進行的振動在顯微鏡下可以觀測，那麼當伸長1cm時，作用在該物體上的力不可超過5/107dya(1dya=10-5N)。” 　　方程4的第二個應用場景是輻射密度公式，這個公式就是光量子論文《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》第一部分《關於“黑體輻射”理論麵臨的一個困難》中的公式，即本文《愛因斯坦34》中的公式3： rn=（8πn2RT）/（NL3），光量子論文中的具體敘述如下： 　　[論文正文分為九個部分，第一部分題為《關於“黑體輻射”理論麵臨的一個困難》，以麥克斯韋理論和電子論為依據，設定在一個由完全反射壁圍住的空間中，有一定數目的氣體分子和電子，還假設有一定數目的電子被某些力束縛在這空間中一些相距很遠的點上，稱為振子：“我們稱這些束縛在空間點上的電子為振子；它們發射一定周期的電磁波，也吸收同樣周期的電磁波。” 　　以上述設定的場景為分析對象，愛因斯坦根據氣體分子運動理論得出的動態平衡條件（一個電子振子的平均動能必須等於一個氣體分子前進運動的平均動能）為依據導出了線性(分)振動的能量的平均值`E=RT/N，此為公式1。 　　其中R是絕對氣體常數，N是每摩爾的實際分子數，而T是熱力學溫度。 　　公式1說明溫度越高，線性(分)振動的能量越高，這個無爭議，也好理解。 　　接著，愛因斯坦又從振子同空間中存在的輻射之間的相互作用作動態平衡的角度考慮，引用普朗克已經推導出的結論： En=（L3·rn）/（8πn2），此為公式2。 　　其中，是本征頻率為的一個振子(每一個振動分量)的平均能量，L是光速，是頻率，為頻率時的輻射能量密度。 　　…… 　　在論文中，愛因斯坦通過公式1和公式2相等的關係，導出了公式3： 　　rn=（8πn2RT）/（NL3）]。 　　在論文《關於布朗運動的理論》中，愛因斯坦沒有用方程4具體推導上述應用場景二如何得出 rn=（8πn2RT）/（NL3），而是直接發了兩段文字感慨： 　　“我們還要把一種理論上的考查同已推導出來的方程聯係起來。假設所討論的物體帶有一個分布在很小空間中的電荷，而且包圍這個物體的氣體是如此稀薄，以致這個物體作出的正弦振動由於周圍氣體的存在隻有輕微的變動。此外這個物體向空間輻射電波，並且從周圍空間的輻射中收到能量；因此它促成在輻射同氣體之間的能量交換。我們能夠推導出一個看來是適用於長波和高溫的熱輻射的極限定律，隻要我們提出這樣的條件，使所考查的物體所發射的輻射平均起來正好同它吸收的輻射一樣多。這樣我們就得到下列對應於振動數的輻射密度的公式： 　　rn=（8πn2RT）/（NL3） 　　此處L表示光速。 　　對於小的頻率和高的溫度，普朗克先生提出的輻射公式就轉換成這個公式。N這個量能夠從這極限定律中的係數確定出來，這樣我們就得到了普朗克關於基本常數的確定（注：光量子論文第二部分《關於普朗克對基本量的確定》）。找書苑 wｗw．zhａｏshuyuan.com 我們以上述方式得到的並不是真正的輻射定律，而隻是一個極限定律，這一事實的緣由，依我看來是在於我們物理概念的根本不完備性。” 　　方程4的第三個應用場景為研究一個懸浮粒子必須小到怎樣的程度才能使它不顧重力的作用而持久地懸浮著。設υ是粒子的體積，ρ是它的密度，ρ0是液體的密度，ɡ是重力加速度，而χ是從容器的底到一個點的豎直距離。 　　將方程4引入此處的設定物理場景，則在任意選定的時刻參數物體坐標χ處在χ和χ+dχ之間的幾率dW為方程7： 　　dW=常數·e-[Nυ（ρ-ρ0）]·gx/（RT）dx 　　此處方程4中的勢Φ(α)為υ（ρ-ρ0）ɡχ，即浮力。 　　在論文中愛因斯坦對方程7進行了文字說明和闡述：“由此我們可以看出，這些懸浮粒子是能夠依然懸浮在液體中的，隻要對於不是小到無法觀察的χ值，量[Nυ（ρ-ρ0）]·gx並沒有太大的值——假定那些達到容器底的粒子不會因任何什麼情況而被吸附在底麵上。” 　　這段話的意思是隻要從容器的底到一個點的豎直距離χ不是變態的小到無法觀察，隻要[Nυ（ρ-ρ0）]·gx不要太大導致懸浮粒子處於χ和χ+dχ之間的幾率幾乎為0，那懸浮粒子就能夠以大概率穩定的懸浮在從容器的底到一個點的豎直距離χ±dχ處。 　　論文《關於布朗運動的理論》第二部分就此正式結束。