愛因斯坦67普朗克的輻射理論和比熱容理論a1906.11.9 　　就在勞厄等人還在質疑光量子不是真空中電磁過程的一種特征，而隻是放射或吸收物的一種特征時，愛因斯坦卻已經著手將量子論繼續擴大適用範圍了，1906年11月9日，《物理學年鑒》收到了愛因斯坦的又一篇論文，題為《普朗克的輻射理論和比熱容理論》，這篇論文將量子論的適用範圍擴大到了固體比熱領域，而且也僅僅是個示範領域，在愛因斯坦看來量子化是物質更本質的東西，量子化開啟了人類探索物質世界的新境界。 　　論文一開始愛因斯坦就以一句短評自己兩篇光量子論文結論的話作為了新論文——也可以稱呼為光量子第三論文——《普朗克的輻射理論和比熱容理論》的研究背景： 　　“我在以前發表的兩篇論文中曾指出：以第二定律的玻爾茲曼理論的精神（注：即熵的概率論解釋公式 S=k·logW）來解釋黑體輻射的能量分布定律，可以引導我們形成有關光的發射和光的吸收現象的新觀點（注：即光量子論），這種觀點雖然還遠沒有具備完備的理論的特性（注：承認光量子理論還不完備，算是對勞厄質疑的回應，當然也光量子論也確實還不完備，畢竟隻是提出了光量子的概念和能量表達式），但已值得引起密切的注意，因為它有助於對一係列規律性的理解（注：光量子論可以解釋很多問題）。” 　　（注：兩篇論文為1905年3月17日的光量子誕生論文《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》和1906年3月13日的光量子姊妹篇論文《關於光產生和光吸收的理論》。） 　　接著，愛因斯坦以兩句話結束了論文的研究目的： 　　“本文現在要證明，輻射理論——特別是到普朗克的理論（注：量子論）——將導致對熱的分子運動論的修正，通過這種修正將克服一直阻礙這個理論貫徹始終的一些困難。由此還將得到固體的熱學行為（注：固體比熱）和光學行為（注：黑體輻射領域，即量子論）的某種聯係。” 　　這篇論文沒有劃分章節，首先是簡述了普朗克振子的平均能量公式的推導，具體如下： 　　按熱的一般分子理論，分子演變過程由方程1描述： 　　dPv/dt=fv（P1，P2，…，Pn）（v=1，2，…，n） 　　其中， P1，P2，…，Pn為物理體係的狀態變數，而∑?fv/?pv=0。 　　上述方程1的給出和設定類似於愛因斯坦1905年5月11日布朗運動論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》第二部分《從熱的分子運動論觀點看滲透壓》中的描述，其為： 　　“在第二部分，愛因斯坦首先設定物理體係的狀態變數以 p1，p2，…，pι表示，狀態變數變化方程由公式3表示：。 　　?pv/?t=ψv（p1，p2，…，pι）（v=1，2，…，ι） 　　接著，在∑?ψv/?pv=0（物理含義為狀態空間的點不可壓縮性）的前提下，愛因斯坦給出了物理體係的熵S和自由能F的理論公式4： 　　S=ê/T+2klg∫e[-E/（2kT）]d（p1，p2，…，pι）， 　　F=（-RT/N）·lg∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι）=（-RT/N）·lgB 　　其中，ê是體係的能量， k為R/（2N），E是狀態變數變化函數 pv的能量，B代表積分∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι），積分的範圍遍及一切符合於有關條件的 pv值的組合。” 　　給出了上述物理體係 Pv的設定後，愛因斯坦又設定了 Pv體係的局部體係，並將局部體係分為兩個部分，一個局部體係的能量與狀態變數有關，一個局部體係的能量與狀態變數無關： 　　“進一步假定，有一個由變數 p1，p2，…，pm(它們屬於 Pv)來確定的 Pv體係的局都體係，並假設：整個體係的能量可以設想為十分接近於兩個部分之和，其中一部分(E)隻同 p1，p2，…，pm有關，而另一部分則同 p1，p2，…，pm無關。此外，E對比起體係的總能量來為無限小。” 　　給出局部體係的設定後，愛因斯坦就列出了局部體係 pv的幾率dW方程2： 　　dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm 　　其中，C是熱力學溫度(T)的一個函數，N是每摩爾分子的數目，R是以摩爾為單位的氣體方程的常數。 　　上述方程2的給出和設定類似於愛因斯坦1905年12月19日布朗運動姊妹篇論文《關於布朗運動的理論》第一部分《熱力學平衡的一個情況》中的描述，其為： 　　“第1部分題為《熱力學平衡的一個情況》，在這一部分，愛因斯坦首先設定一物理體係與熱力學溫度為T的周圍環境處於熱平衡狀態，以P1，P2，…，Pn代表物理體係的狀態變數，尤其是物理體係所有原子的坐標和速度分量可以作為具體的狀態變數的一種。 　　在這裡的理論設定部分，愛因斯坦已經光明正大的談論原子問題了，在上篇1905年5月11日的布朗運動相關論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》的創作時期，原子、分子論尚未得到科學界公認。 　　做出上述條件設定後，愛因斯坦接著直接給出了狀態變數P1，P2，…，Pn在隨機選定的一個時刻處於一個n重的無限小區域(dP1…dPn)中的幾率方程1： 　　dw=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpn 　　其中，dw是狀態變數在無限小區域(dP1…dPn)中的幾率；C是常數；R是氣體方程的普適常數（即熱力學氣體常數）；N是每摩爾實際分子的數目（即阿伏伽德羅常數）；E是體係的能量。 　　給出狀態變數在無限小區域(dP1…dPn)中的幾率dw方程1後，愛因斯坦設α為狀態變數P1，P2，…，Pn對應的物理體係可觀察的參數，並用Adα來表示在偶然選定的一個時刻參數α的值處在α和α+dα（注：dα為微積分中的無限小變量）之間的幾率，根據方程1可得方程2： 　　Ada=òdaCe-（NE）/（RT）dp1…dpn 　　對方程2愛因斯坦進行了兩段簡短的文字闡述： 　　“隻要右邊的積分是遍及狀態變數值的一切組合，而這些狀態變數的α值是處於α和α+dα之間的。 　　我們要限於這樣的情況，在這種情況中，從問題的性質立即可以明白，α的一切(可能的)值都具有同一幾率(頻率)；因此，那裡的量A同α無關。” 　　所以，物理學家的論文也不是不能簡單的看一下，耐心的看下去，看多了，他們很多處理問題的思路和方法都是相通的，愛因斯坦論文中對一般大眾來說比較晦澀的關於分子運動和熱力學的一些論文的處理方式就有很多類似的地方，看多了也就看習慣了。 　　接下來的處理依然類似《關於布朗運動的理論》第一部分《熱力學平衡的一個情況》的處理，設∫dEp1…pm=w（E）dE，積分遍及局部體係 pv的全部組合，則同它們相應的能量值處於E和E+dE之間幾率dW為方程3： 　　dW=Ce-（NE）/（RT）w（E）dE 　　給出方程3後，愛因斯坦以一段文字闡述說明上述方程其實就概括了熱的分子運動論： 　　“如果人們設變數 Pv（注：物理體係，而不是設定的局部體係）為質點(原子、電子)的重心坐標和速度分量，如果人們還假設加速度隻同坐標有關，而同速度無關，這樣我們就得到了熱的分子運動論。這裡滿足方程1（注：∑?Φv/?Pv=0），從而方程2（注： dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm）也成立。” 　　接著，愛因斯坦在論文中就演示了設定局部體係的作用，選擇一個基元物質粒子作為局部體係 pv，它可以沿著直線方向作正弦振蕩，並且如果人們用χ和ξ相應地表示這個粒子距平衡位置的瞬時距離和它的瞬時速度，根據方程2和方程3，則描述基元物質粒子的方程為2a： 　　dW=Ce-（NE）/（RT）dxdξ 　　因為∫dxdξ=常數·dE（注： E=ax2+bξ2），所以，方程3中的 w（E）=常數（注：能量連續性還是量子化的區別就在此處 w（E）的設定），而方程2a則變為方程3a： 　　dW=常數·e-（NE）/（RT）dE 　　由方程3a可得物質粒子的能量平均值`E為公式4（注：紫外災變根源公式）： 　　`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N 　　（注：1905年3月17日的光量子誕生論文《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》第一部分《關於“黑體輻射”理論麵臨的一個困難》中的公式1：線性(分)振動的能量的平均值`E=RT/N，找書苑 wwｗ．ｚhａoshｕyuan.com 困難之處就出在這個公式有問題，暗含了能量的連續性，而不是量子化。 　　∫E·e-（NE）/（RT）dE是物質粒子的總能量，∫e-（NE）/（RT）dE是物質粒子的數目。） 　　而普朗克得出的離子的平均能量`E和黑體幅射對於有關頻率的能量密度ρv之間的關係為公式5： 　　`Ev=（L3·ρv）/（8πv2） 　　聯立公式4和公式5則得出了導致紫外災變的瑞利-金斯公式的變種形式，公式6： 　　ρv=（8πv2RT）/（NL3） 　　（注：1905年3月17日的光量子誕生論文《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》第一部分《關於“黑體輻射”理論麵臨的一個困難》中的公式3。） 　　愛因斯坦對公式6評價說：“如所周知，此式隻有當 T/v值很大時才具有極限定律的意義（注：公式6適合長波短頻輻射）。” 　　至此為止，愛因斯坦在上述部分比較詳細的推導了1905年3月17日的光量子誕生論文《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》第一部分《關於“黑體輻射”理論麵臨的一個困難》的來源過程，比光量子論文裡闡述的還詳細，大家通過愛因斯坦這一部分的闡述也更能明白紫外災變的來源和根源在哪了。