愛因斯坦75論相對性原理所要求的能量的慣性 　　愛因斯坦第三篇論述質能方程的論文《論相對性原理所要求的能量的慣性》正文分為四部分，第一部分題為《關於一個受到外力做勻速平移的剛體的動能》，在這一部分，愛因斯坦考察了帶電剛體在接受電動力前後動能的變化，指出接受電動力的剛體的動能比以同樣速度運動的但不受任何力的同樣物體的動能大。 　　首先，由靜係考察，一個正在以速度υ、沿x軸坐標增加的方向做勻速平移的剛體的動能K0為公式1： 　　K0=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1] 　　（注：狹義相對論論文《論動體的電動力學》第十部分《(緩慢加速的)電子的動力學》中推導的電子動能方程，本作《愛因斯坦48》中的方程49。） 　　將上述的剛體變為帶電剛體，並施加電磁場力後，在時間t0到t1之間，電磁力場傳遞給剛體的能量變化△E為公式2： 　　ΔE=∫dt∫υX·ρ/（4π）dxdydz，（時間積分上下限為t1，t0） 　　其中，空間積分遍及整個剛體，（X，Y，Z）表示電力的矢量，ρ=?X/?x+?Y/?y+?Z/?z，表示電密度的4π倍。 　　由動係（注：靜係和動係的劃分，以及坐標符號都與論文《論動體的電動力學》相同），即與剛體相對靜止的坐標係考察，根據洛倫茲變換，可得電磁力場傳遞給剛體的能量變化△E為公式3： 　　ΔE=∫∫βυX′·ρ′/（4π）dξdηdζ 　　其中，β為洛倫茲因子[1-（υ/V）2]-0.5。 　　因為從動係考察，即從一個同物體一起運動的坐標係觀測，作用在物體上的力的電力X分量之和永遠為零，所以∫X′·ρ′dξdηdζ=0。 　　根據洛倫茲時間變換公式 t=β（τ+υξ/V2），可得動係考察對應靜係的t0和t1的時間極限分別為：τ=t0/β-υξ/V2和τ=t1/β-υξ/V2。 　　為了計算動係考察力場傳遞給剛體的能量變化△E公式3，愛因斯坦將時間劃分為了三部分： 　　第一部分為 t0/β-υξ/V2和 t0/β； 　　第二部分為 t0/β和 t1/β，因為這一部分的時間極限同動係空間坐標ξ、η、ζ無關，所以其對應公式3的積分為0； 　　第三部分為 t1/β和 t1/β-υξ/V2。 　　由上麵對時間的三段劃分，公式3變為公式4： 　　ΔE=-∫（υ/V）2βX1′ρ′/（4π）dξdηdζ+∫（υ/V）2βX0′ρ′/（4π）dξdηdζ 　　其中，電力X0′和X1′分別為第一部分和第三部分時間間隔的電力X′。 　　設在開始時t0時刻，沒有力作用在帶電剛體之上，則公式4第二個積分為零，而 X1′ρ′/（4π）dξdηdζ是在空間元上的有質動力的ξ分量Kξ，由此，公式4可變為公式5： 　　ΔE=-（υ/V）2·[1-（υ/V）2]-0.5·∑（ξ·Kξ） 　　其中，累計遍及剛體的所有質量元。 　　在對公式5的文字說明中愛因斯坦結束了論文第一部分的闡述： 　　“我們因此得到如下的奇異結果。如果一個原來沒有力作用於其上的剛體受到這樣一些力的影響：這些力並不把加速度授予物體，那麼，這些力（注：從動係考察這些力為0，但根據洛倫茲變換導出靜係考察的力不為0）——從一個相對於物體運動的坐標係觀測（注：靜係）——對物體做一定量的功△E，它隻依賴於力的最終分布和平移速度（注：從靜係考察電動力對剛體做功取決於相對速度υ和電動力分布情況）。 　　按照能量原理，由此立即得出，受力的剛體的動能比以同樣速度運動的但不受任何力的同樣物體的動能大△E。 　　（注：意即電動力做功了，但按經典力學來說帶電剛體動能沒變，因為速度υ沒變；但根據能量守恒，動能應該增大了，因為電動力做功了，意即帶電剛體的慣性質量m增加了，雖然速度υ沒變，但動能增加了。）” 　　論文第一部分從電動力做功的角度考察論證了經典物理學中慣性質量永恒不變是不正確的，隨著電動力對帶電剛體做功，其慣性質量必然而增加了。 　　第二部分題為《關於一個帶電剛體的慣性》，在這一部分，愛因斯坦考察了帶電剛體靜電能對帶電剛體慣性質量的影響，得出了帶電剛體動能的表達式，並將其與不帶電剛體的動能表達式做對比，指出帶靜電的物體的慣性質量比不帶電的物體的慣性質量要大，超過的量等於靜電能除以光速的平方。 　　首先，由靜係考察，一個正在以速度υ、沿x軸坐標增加的方向做勻速平移的帶電剛體由於自身運動而產生的電磁能為公式6： 　　Ee=[∫（X2+Y2+Z2+L2+M2+N2）dxdydz]/（8π） 　　由動係考察上述電磁能為公式7： 　　Ee=[1/（8π）]·∫（1/β）·{X′2+[1+（υ/V）2]/[1-（υ/V）2]·（Y′2+Z′2）}dξdηdζ 　　考慮到帶電剛體受到電量間相互作用產生的力的影響，則其總動能為公式8： 　　K=K0+ΔE+（Ee-Es） 　　其中，Es為帶電剛體在靜止狀態時的靜電能（注：即為公式7），K0為剛體沒有電荷時的動能，△E為帶電剛體受到電量間相互作用產生的能量變化。 　　帶電剛體受到電量間相互作用產生的能量變化△E為公式9： 　　ΔE=-（υ/V）2·β/（4π）∫ξX′（?X′/?ξ+?Y′/?η+?Z′/?z）dξdηdζ=（υ/V）2·β/（8π）∫（X′2-Y′2-Z′2）dξdηdζ 　　將K0的公式1、Ee的公式6、Es的公式7以及△E為公式9代入公式8，可得帶電剛體動能的表達式公式10： 　　K=（μ+Es/V2）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1] 　　而剛體的動能K0公式1： 　　K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1] 　　對比公式1和公式10可知，帶靜電的物體的慣性質量（公式10中的μ+Es/V2）比不帶電的物體的慣性質量（公式1中的μ）要大： 　　“人們認識到，帶靜電的物體的慣性質量比不帶電的物體的慣性質量要大，超過的量等於靜電能除以光速的平方。因此這個能量的慣性質量定律（注：即質能方程）為我們所考察的特例中的結果所確認。” 　　論文第二部分從帶電剛體靜電能的角度考察論證了經典物理學中慣性質量永恒不變是不正確的，慣性質量除了經典物理學中規定的數值，必然還包括靜電能引起的慣性質量的增加部分。 　　第三部分題為《關於剛體動力學的評論》，在這一部分，愛因斯坦設計了兩個思想實驗，考察了從狹義相對論角度考慮，力對剛性桿作用效果的傳播需要時間以及信號的傳遞也需要時間，而且信號傳遞速度不能大於光速。 　　第一個思想實驗為大小相等但方向相反的兩個力P在很短的時間τ0作用在剛性桿AB的兩端，其他所有時間桿都不受力，則從動係考察，即剛性桿和參照係相對靜止時，在時間τ0施加在桿上的作用不產生桿的任何運動。 　　但從靜係考察，根據洛倫茲變換，A和B兩個端點的受力則不同時，B點受力比A點受力延遲了ιβ/（υ/V2）時間單位，ι是桿的長度。對此，愛因斯坦提問說在A的沖量作用已經結束而在B的沖量尚未開始起作用，這時刻的能量如何，並拔高到這是違反能量守恒的大是大非的問題： 　　“在A的沖量已經把功傳遞給桿(因為桿已在運動)，因此桿的能量必須因這個功而增加。然而，或者在桿的速度方麵，或者在任何其他有關量(可以使能量函數依賴於這些量)方麵，都沒有發生任何變化。因此，這裡似乎違反了能量原理。” 　　而假設一個點的力的擴展到整個物體上不需要花時間同相對性原理是不相容的，就此愛因斯坦還上綱上線的評價到這說明要構建完備的相對論剛體平移動力學距離還很遙遠： 　　“因此，我們顯然不得不假設，在我們的例子中，在A的沖量的效應是同物體中性質未知的狀態變化相聯係的，這種變化以有限的速度擴展到整個物體，並且在短時間內使物體產生一個加速度，除非這種效應在該段時間內被若乾作用於物體的其他力的效應所抵消。因此，如果相對論性電動力學是正確的，我們距建立剛體的平移動力學仍很遙遠。” 　　第二個思想實驗為一物質條以υ向x軸負向運動，相對於該物質條某種效應以速度W傳播，在物質條兩端均有一個與坐標係相對靜止觀察者A和B，要求觀察者A通過物質條向B發送一個信號，則信號速度根據狹義相對論速度疊加公式為（W-υ）/（1-Wυ/V2）（注：狹義相對論論文《論動體的電動力學》第五部分《速度的加法定理》中的公式，本作《愛因斯坦46》公式16）。 　　因此，從A點發射信號到B點接收信號所花的時間T為公式11： 　　T=ι（1-Wυ/V2）/（W-υ） 　　其中，ι是AB的距離，W為物質條某種效應速度，即信號速度，υ為物質條向x軸負向運動速度，為小於光速V的任意值。 　　對著公式11，愛因斯坦端端正正的做了個簡短的討論，以證明信號速度W不可能大於光速V，因為在這樣的情況下，時間T為負值，沒有實際的物理意義： 　　“因此，如果W>V，如我們已經假設的那樣，那麼總可以選取一個υ使得T<0，這個結果意味著，我們必須認為這樣一種傳遞機製是可能的，利用這種機製可以產生結果先於原因的情況(例如，意願和行為的伴生)。 　　盡管按照我的意見，從純邏輯觀點看來這個結果並不包含矛盾，但它絕對同我們全部經驗的品性相沖突，因此，W>V的假設的不可能性就被這個結果充分地證明了。 　　（注：在信號速度W超光速的情況下，公式11的分母W-υ肯定大於0，而分子便化為1-a·υ/V，其中a是W/V，為任意大於1的數，而υ/V為小於1的數。在這種情況下，適當的選取υ數值，很容易導致a·υ/V大於1，比如可以設W為2V，則a=2，隻要υ/V大於0.5，則時間T的公式11便小於0了。 　　其實從洛倫茲因子那直接論證不能超光速比這裡的論述都好懂，那裡很明顯，如果超光速，洛倫茲因子裡的根號值就為負了。）” 　　論文第三部分通過兩個思想實驗論證了各種物理效應及信號傳播都以有限速度（極限速度為光速）傳播，而要構建完備的相對論動力學距離還很遙遠，狹義相對論涉及的動力學的很多細節問題有待繼續考察解決，在那之後才能奢談相對論動力學完備體係的建立。 　　第四部分題為《關於由許多不受力的運動質點組成的體係的能量》，在這一部分，愛因斯坦終於開始應用群眾喜聞樂見的質能方程形式E=mc2處理問題了，並從研究質點運動能量的角度考察了能量與慣性的等效性。 　　首先，以速度υ運動的質點μ的動能為論文第一部分的公式1： 　　K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1] 　　這個公式的差分形式為公式12： 　　k=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]|υ=υυ=0 　　（注：公式12其實就是公式1積分推導時尚未代入積分上下限分別為υ和0時的形式。） 　　在論文中愛因斯坦定義公式12積分下限υ=0時的能量為靜止質點的能量ε0，其為公式13，即群眾喜聞樂見的質能方程的靜止質量形式：ε0=μ·V2。 　　對公式13愛因斯坦還做了一句注解：“人們應該注意到簡化的條件μ·V2=ε0也是質能等效原理的表達式，而在帶電體的案例中ε0不是別的，就是它的靜電能。” 　　根據上述靜止質點的能量的設定，則以速度υ運動的質點μ的能量則為公式14： 　　e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）] 　　設質點μ相對於動係（ξ，η，ζ）以速度ω運動，運動方向與ξ軸的夾角為j，則相對於靜係（x，y，z）的質點μ能量為公式15： 　　e=μ·V2·（1+υ）/√[（1-υ2/V2）·（1-w2/V2）] 　　則根據公式15可得多個質點的總能量表達式為公式16： 　　E=[1/√（1-υ2/V2）]·[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]+[υ/√（1-υ2/V2）]·[∑μ·（1-w2/V2）-0.5] 　　根據質點係相對於坐標係動量為0原理，找書苑 wwｗ.zhａoshuｙuan.com可知關係式17： 　　∑μωξ·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωη·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωζ·（1-w2/V2）-0.5=0。 　　其中，ωξ，ωη，ωζ是ω的分量。 　　根據關係式17，公式16可變為公式18： 　　E=[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]·[1/√（1-υ2/V2）] 　　根據質能方程，公式18變為公式19： 　　E=E0/V2·V2·[1/√（1-υ2/V2）] 　　其中，E0是質點係相對於坐標係動係（ξ，η，ζ）的能量；根據質能方程質點質量μ=E0/V2。 　　對比公式19和公式14（ e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]），愛因斯坦得出了從質點能量角度得出的質心定理： 　　“考慮到能量對於過程所參照的坐標係的運動狀態的相依性，一個勻速運動的質點係可以用具有質量μ=E0/V2的單個質點來取代。” 　　最後，愛因斯坦以一句話結束了論文，再次強調了運動越激烈能量越高質量越大：“因此，一個運動質點體係——從整體看——質點彼此相對的運動愈快，慣性就愈大。這種相依性又是由引言中所引定律所給出的。” 　　至此，愛因斯坦第三篇論述質能方程的論文《論相對性原理所要求的能量的慣性》就正式結束了，此篇論文《物理學年鑒》於1907年5月14日收到，最終於6月16日發表。