愛因斯坦69普朗克的輻射理論和比熱容理論c量子比熱公式應用 　　推導出量子論改造後的固體比熱公式10a後，愛因斯坦就把這個公式做了應用示範。首先，愛因斯坦以公式10a為基礎，做了橫坐標為 x=T/（βv）、縱坐標為固體比熱容的曲線圖（圖1），並做了文字闡述： 　　“下圖顯示了公式10a作為 x=T/（βv）的函數的值。當 x=T/（βv）>0.9，基元結構對分子比熱容的貢獻值為5.94(這也是迄今一直被接受的分子運動論所得出的)沒有顯著的差別；如果 v愈小，那麼在溫度更低的時候就已是這種情況了（注：情況1，傳統比熱容理論適用的範圍）。 　　如果相反， x=T/（βv）<0.1，那麼所說的基元結構對比熱容沒有顯著的貢獻（注：情況2，隻有量子比熱容理論才能解釋的地方）。 　　在上述兩種情況之間發生了公式10a的開始急劇而後又較緩慢的增長（注：情況3，傳統比熱容理論和量子比熱容理論預測的中間地帶，開始偏離傳統比熱容理論的預測，而符合量子比熱容理論的預測）。” 　　圖1量子化固體比熱容曲線圖 　　根據上麵的量子化固體比熱容曲線圖和量子比熱容公式10a，愛因斯坦對紫外線本征頻率做了文字闡述： 　　“根據前麵所述，首先可以得出：為了解釋紫外線本征頻率（注：頻率 v高、波長λ短），所設想的振蕩電子在常溫(T=300)下對比熱容不可能有顯著的貢獻；因為不等式 x=T/（βv）<0.1在T=300的情況下轉化為不等式λ<4.8μm（注：即在紫外線的情況下， x=T/（βv）<0.1）。 　　與此相反，當基元結構滿足λ>48μm時（注：此為紅外線的情況下， x=T/（βv）>0.9），那麼按照上麵所述，必定得出，在常溫時它對摩爾熱容的貢獻大概是5.94。” 　　接著，愛因斯坦對紅外線本征頻率也做了文字闡述： 　　“因為對於紅外線本征頻率，一般說來λ>4.8μm，那麼，按照我們的理解，每一本征振蕩都必然對比熱容作出貢獻，並且如果λ愈大，對比熱容的貢獻也就愈大。根據德魯德的研究，具有這些本征頻率的就是有質原子(原子離子)本身。因此，作為固體(絕緣體)中熱的載體，首先應當考慮的隻能是原子的正離子。（注：不久之後愛因斯坦對這兩句話做了更正）” 　　最後，愛因斯坦討論了溫度T對固體比熱容的影響，根據量子化固體比熱容曲線圖和量子比熱容公式10a可知，溫度T越低，即越靠近曲線左邊，則固體比熱容急劇下降： 　　“如果一個固體的紅外線本征振蕩頻率 v為已知，那麼，根據上麵所述，它的比熱容以及由公式10a所表示的比熱容對溫度的相依關係因此都完全確定了（注：根據公式10a可以計算比熱容和溫度的關係）。 　　如果有關物質顯示光學紅外本征頻率，即λ<48μm（注：雖屬紅外線，但波長不算太長、頻率不算太低），那麼，在常溫時（注：溫度不夠高，很可能導致 x=T/（βv）<0.1），必可期望比熱容同關係式c=5.94·n有明顯的偏離（注：這種情況屬於量子化固體比熱容曲線圖偏左的部分，比熱容偏低，不再屬於c=5.94·n的傳統比熱容理論的適用範圍）；在足夠低的溫度下，一切固體的比熱容隨著溫度的下降而顯著下降（注：偏低的溫度T會導致 x=T/（βv）<0.1）。 　　此外，杜隆-珀蒂定律定律（注：即c=5.94·n的傳統比熱容理論的適用範圍）以及普遍規律c=5.94·n，對於一切固體在足夠高的溫度下必然成立，隻要在這種情況下新的運動自由度(電子離子)絲毫也不顯著（注：隻要溫度T夠高，使得 x=T/（βv）>0.9，則傳統比熱容理論完全可用，但前提是溫度不要高到使得基元結構解體，那又是另一回事情了）。” 　　針對上麵三種量子化固體比熱容理論對紫外線本征頻率、紅外線本征頻率以及溫度對固體比熱容影響的論述，愛因斯坦最後以一段話做了梳理和總結： 　　“上麵所說的兩種困難被新的理解消除了（注：即前文提到的有的原子比熱容顯著地小於5.94和分子的運動質點數大於它的原子數——比熱容值必須大大超過5.94·n兩種現象和觀點、看法），並且我認為，這種理解大概在原則上是正確的。 　　當然，不應當設想它嚴格地符合於事實。固體在加熱過程中經歷了分子排列的變化(比如體積的變化)，這種變化同所含能量的變化相聯係；一切導電的固體都含有對比熱容作出貢獻的自由運動的基元質點；無序的熱振蕩的頻率或許就是這種基元結構的多少不同於光學過程中的本征振蕩的頻率（注：當溫度過高影響了基元結構，甚至破壞了基元結構時，量子固體比熱容理論公式10a也需要做修正，甚至廢棄）。 　　但是，最後，認為所考察的基元結構具有同能量(溫度)無關的振蕩頻率，這一假設無疑是不恰當的（注：基元結構的震蕩頻率與溫度有關，而不是無關，即溫度會影響基元結構的震蕩頻率）。” 　　利用公式10a對固體比熱容做了上述總體的考察後，愛因斯坦又用公式10a計算了反常固體比熱容，即小比熱容元素的本征波長，以繼續論證自己固體比熱容量子化理論的正確性，其計算結果顯示小比熱容元素的本證波長都小於48μm，符合自己上述的總體考察結論，結果如下表所示： 　　表1小比熱容元素的本證波長計算值 　　愛因斯坦對上述結果評論說：“我們注意到，一切具有反常的小原子熱容量的元素也具有較小的原子量；按照我們的理解，這是可以預料到的，因為，假使其餘情況均相同，小的原子量對應於大的振蕩頻率。（注：小波長的結果會導致 x=T/（βv）<0.1，即波長λ越小，頻率v越大，則會導致 x=T/（βv）<0.1。）” 　　接著，愛因斯坦還拿公式10a計算了透明固體的紅外本證震蕩的波長λ，也基本符合自己上述本證波長小於48μm的物質其比熱容較傳統比熱容理論偏低的論斷，結果如下表所示： 　　表2透明固體的紅外本證震蕩的波長計算值 　　愛因斯坦自己對這個計算結果的陳述為： 　　“在第二個表中（注：即上表計算透明固體的紅外本證震蕩波長），NaCl和KCl隻包含具有正常比熱容的原子（注：因此其紅外本證震蕩的波長λ大於48μm）；它們的紅外本征振蕩的波長確實大於48μm（注：情況1，傳統比熱容理論能解釋的）。 　　其餘的物質包含具有真正反常的小比熱容的原子(除了Ca)；實際上這些物質的本征頻率在4.8μm和48μm之間（注：情況2，愛因斯坦此文提出的量子化比熱容理論能解釋的）。” 　　從計算中，愛因斯坦還發現透明固體紅外本證震蕩的波長的計算值大多數都大於觀測值，找書苑 www.zhaosｈuｙuan.cｏｍ對此，愛因斯坦認為是能量變化（注：即高溫分子的熱運動）影響了基元結構： 　　“根據理論從比熱容算出的波長一般顯著地大於觀測到的波長。這種偏離也許可以從基元結構的頻率能夠隨能量發生巨大的變化而得到解釋。不管怎麼樣，第二個表中所列的觀測到的λ同計算出來的λ的一致性，不管從相繼順序來說，還是從數量級上來說，都是十分引人注目的。” 　　以小比熱容元素和透明固體的比熱容數據驗證了自己的量子化固體比熱容理論後，在論文的最後，愛因斯坦利用公式10a對未知的金剛石紅外本證頻率做了理論預測。 　　將金剛石的實驗數據溫度T=331.3，比熱容c=1.838代入公式10a，愛因斯坦算出金剛石紅外本證頻率λ為11.0μm。將其反代入公式10a或參照量子化固體比熱容曲線圖，愛因斯坦又給出了金剛石不同溫度下的比熱容理論值，如表三所示。 　　表3金剛石不同溫度下的比熱容理論值 　　（注：[33]為0.6638） 　　最後，愛因斯坦以強調金剛石紅外本證頻率量子化固體比熱容理論的預測值結束了論文《普朗克的輻射理論和比熱容理論》： 　　“因此，根據這理論可以預料，金剛石在λ=11μm處，將顯示最大的吸收。” 　　《物理學年鑒》於1906年11月9日收到了愛因斯坦這篇極大的推廣了量子論應用範圍的固體比熱容理論論文，最終於1907年1月發表。