愛因斯坦90布朗運動的基本理論08.4 　　就在這段為入職中學還是大學、發明靜電感應小機器和與保羅·哈比希特探討螺旋槳飛行器等各種俗務纏身的時段，愛因斯坦的論文也寫出了蕓蕓眾生、普羅大眾能看懂的水平，他以一篇真正通俗卻也深刻的論文科普了一下他關於布朗運動的理論，這個領域此前在愛因斯坦的論文中也屬於比較晦澀的部分。 　　1908年4月1日，《電化學與應用物理化學雜誌》（《Zeitschrift für Elektrochemie urd angewandte physikalische Chemie》）收到了愛因斯坦的這篇布朗運動第三論文，這篇論文屬於大眾喜聞樂見的類型，基本都能看懂，因為這篇論文的本意就是以簡易的推導讓化學家看懂布朗運動的理論闡述。不光我等眾生感覺愛因斯坦的布朗運動理論闡述的晦澀，就是化學家也覺得不太好理解，因此這篇論文就應理查德·洛倫茲的建議而誕生了。 　　（注：理查德·洛倫茲，Richard Lorenz，1863年-1929年，瑞士聯邦技術大學電化學和物理化學教授，不是提出洛倫茲變換和洛倫茲力的荷蘭理論物理學家、1902年諾貝爾獎物理學獎獲得者、數學家、經典電子論的創立者亨德裡克·安東·洛倫茲。 　　1907年11月15日，理查德·洛倫茲給愛因斯坦寫信，索要愛因斯坦關於布朗運動和熱力學基礎的論文。） 　　布朗運動第三論文題為《布朗運動的基本理論》，他的理論分析較前兩篇布朗運動論文——1905年5月11日的布朗運動第一論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》和1905年12月19日的第二論文《關於布朗運動的理論》——那是通俗的多了，一個天上一個地下的差別不為過，通讀一遍這篇第三論文基本就能看懂論文的意思。 　　在論文的研究背景和研究目的部分，愛因斯坦首先闡述了這篇論文的由來，應理查德·洛倫茲的建議給出更加通俗易懂的布朗運動簡單理論： 　　“在一次談話中，理查德·洛倫茲教授向我指出說，許多化學家將歡迎一種關於布朗運動的基本理論。作為對他的要求的響應，我在下麵提出一種關於這一現象的簡單理論。” 　　然後，愛因斯坦給出了研究的思路，一是通過稀溶液的滲透壓和溶質遷移率來研究稀溶液的擴散過程： 　　“簡而言之，思路如下：首先，我們考察在一種未離解的稀溶液中的擴散過程怎樣依賴於溶液中滲透壓的分布，以及怎樣依賴於溶質相對於溶劑的遷移率。 　　對於溶質分子比溶劑分子更大的情形，我們得到了對擴散係數的一種表述，在其中，除了溶劑的黏滯性和溶質分子的直徑之外，沒有其他與溶劑性質有關的量出現。” 　　二是從分子熱運動的隨機性來計算分子的平均遷移量，前麵兩篇布朗運動論文最復雜的理論推導部分： 　　“然後，我們把擴散過程歸因於溶質分子的隨機運動，並找出了怎樣從擴散係數來計算溶質分子的這些隨機運動的平均量的方法。也就是說，按照上述結果，是從溶劑的黏滯性和溶質分子的大小來計算的。因而，由此得到的結果隻對真正溶解的分子而不是對懸浮在液體中的任何微小粒子有效。” 　　論文正文共分3部分，第一部分題為《擴散與滲透壓》，這部分的研究場景為設計了一個內含稀溶液的圓柱形容器，中間有一個可移動的半滲透壁，其麵積被設定為單位麵積，左右兩部分溶液濃度不同，容器平放，其長度方向由左端到半滲透壁的距離為x，半滲透壁壁厚以dx表示，則滲透壓力K=-dp/dx，其中，dp為滲透壓。 　　溶質溶解在溶液中滲透壓方程為p=，其中，p是滲透壓，R是熱力學氣體常數，T是熱力學溫度，v是每單位體積溶質的物質的量。 　　（注：滲透壓方程1877年首先由荷蘭化學家雅各布斯·亨裡克斯·範托夫推導出。） 　　結合上麵兩個公式可得滲透壓力K為公式1： 　　K=-RT·dv/dx。 　　接著，愛因斯坦又引用了基爾霍夫《力學講義》中計算分子速度υ的公式： 　　υ=k/（6πηρ） 　　其中，k是作用在單個分子上的力，υ是分子運動速度，η是溶劑的粘滯係數或摩擦係數，ρ是分子半徑。 　　而滲透壓力K是作用在vN個分子上的力，則K=vNk，將其帶入上麵的公式可得公式2： 　　υ=K/（6πηρ·vN）， 　　其中，N為阿伏伽德羅常數。 　　將公式1：K=-RT·dv/dx代入公式2，可得公式3： 　　υv=-RT/（6πηρN）·dv/dx 　　公式3左邊為溶質濃度v和溶質僅通過擴散過程而被移動的速度υ的乘積，這個乘積代表了經擴散每秒通過單位橫截麵積輸運的溶質的量； 　　右邊的dv/dx則為溶質的濃度梯度，因此，根據擴散係數D的定義（注：溶質擴散速率與濃度梯度dv/dx的比值）可知，其為公式4： 　　D=-RT/（6πηρN）。 　　論文第一部分就講了這些內容，最終得出了擴散係數D的公式4。 　　這一部分的論述是前麵研究背景和目的部分提及的研究思路一：通過稀溶液的滲透壓和溶質遷移率來研究稀溶液的擴散過程。 　　其論證分析類似布朗運動第一論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》第三部分《懸浮小球的擴散理論》和第二論文《關於布朗運動的理論》第四部分《不離解的物質在溶液中的擴散》，屬於比較好懂的部分。 　　愛因斯坦布朗運動理論闡述裡最令人費解的是前麵研究背景和目的部分提及的研究思路二：從分子熱運動的隨機性來計算分子的平均遷移量。 　　前麵兩篇布朗運動的論文對這一思考角度理論分析的很抽象，以溶質分子幾率分布和抽象函數的方式分析的，比較晦澀，這篇布朗運動第三論文的突破就在這裡，給分子熱運動的隨機性分析給出了一個簡單數學的分析方式，比較容易理解，那個別致的均方位移Δ給出的邏輯也清晰化了，這一部分就是論文第二部分的內容了。 　　第二部分題為《擴散與分子的隨機運動》，在這一部分以Δ代表溶質分子在短時間t內的平均位移。由於分子熱運動的隨機性，溶質分子正負方向運動幾率對半，則左側正向穿過界麵E的溶質分子數為0.5v1Δ，右側負向穿過界麵E的溶質分子數為0.5v2Δ，則短時間t內穿過界麵E的總溶質分子數為公式5： 　　0.5（v1-v2）Δ， 　　其中v1和v2是界麵E兩側Δ距離內的溶質分子平均摩爾濃度，即E界麵左側距離0.5Δ和右側距離0.5Δ處的溶質分子摩爾濃度。 　　由v1和v2可以計算溶質分子的濃度梯度dv/dx為： 　　（v2-v1）/Δ=dv/dx 　　以上述公式可得公式6：v1-v2=-Δ·dv/dx 　　將公式6代入公式5可得在時間t裡通過E界麵擴散的物質的量為公式7： 　　-0.5Δ2·dv/dx 　　則單位時間內通過E界麵擴散的物質的量即為公式7除以時間t，為公式8： 　　-0.5（Δ2/t）·dv/dx 　　由此，根據擴散係數D的定義（注：溶質擴散速率與濃度梯度的比值）可知，其為公式9： 　　D=0.5（Δ2/t） 　　因此，溶質分子均方位移的別致公式10就此誕生了： 　　Δ=√（2Dt） 　　這個公式10就是前兩篇布朗運動論文裡經過復雜抽象的理論分析得出的最終結論，與之相比，布朗運動第三論文這裡的闡述那是清新多了，都有呼吸到大自然芳香青草味的感覺了。找書苑wｗw.zｈaｏｓhuyuan.com 　　第三部分題為《單個分子的運動布朗運動》，這一部主要就是公式的應用了，首先聯立上述兩個擴散係數D的公式4和公式9，即將公式4代入公式10中可得公式11： 　　Δ=√t·√[(RT/N·3πηρ）] 　　（注：前兩篇布朗運動論文中都有這個公式，本作《愛因斯坦40》中的公式24和《愛因斯坦57》中的公式19。） 　　在布朗運動第三論文這裡愛因斯坦還給分子遷移的距離Δ正比於時間的平方根√t給了一定的文字說明： 　　“從這個公式中，我們看到，一個分子平均遷移的路程不是正比於時間，而是正比於時間的平方根。這是由於這樣一個事實，即在兩個相繼的時間單位中遷移的路程並不總是相加，而時常是相減。” 　　將相關的數據代入公式11，愛因斯坦得出了室溫下水中一個直徑1μm的粒子1s在一個特定方向上在時間t=1時的平均遷移路程Δ=0.8μm； 　　室溫下的糖分子在時間t=1時的平均遷移路程Δ=27.6μm 　　在論文的最後，愛因斯坦還利用公式計算了室溫下離子在時間t=1時的平均遷移路程Δ，氫、鉀和二異戊銨C10H24N的Δ分別為125μm、58μm和35μm。 　　布朗運動第三論文《布朗運動的基本理論》就此結束，此文於1908年4月1日投給了《電化學與應用物理化學雜誌》，最終於4月24日發表。這篇論文最大的功績是讓更多的人看懂了溶質分子均方位移Δ的來源。